Prawa Keplera a zasady dynamiki Newtona

Rozpoczniemy od wyprowadzenia trzeciego prawa Keplera dla planet poruszających się po orbitach kołowych. Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru Dodatek: Doświadczenie Cavendisha-( 5 ) na masę Słońca otrzymujemy dla pierwszej planety krążącej wokół Słońca

(1)

$ M_{{S}}=\frac{4\pi^{{2}}R_{{1}}{{^3}}}{GT_{{1}}{{^2}}} $

a dla drugiej

(2)

$ M_{{S}}=\frac{4\pi^{{2}}R_{{2}}{{^3}}}{GT_{{2}}{{^2}}} $

Porównując te równania stronami otrzymujemy

(3)

$ \frac{R_{{1}}{{^3}}}{T_{{1}}{{^2}}}=\frac{R_{{2}}{{^3}}}{T_{{2}}{{^2}}}\text{}\;\;\text{czyli}\;\;\text{}\frac{R_{{1}}{{^3}}}{R_{{2}}{{^3}}}=\frac{T_{{1}}{{^2}}}{T_{{2}}{{^2}}} $

Teraz przejdziemy do drugiego prawa Keplera. Na Rys. 1 zaznaczona jest powierzchnia zakreślana w czasie $ \Delta t $ przez linię łączącą planetę ze Słońcem.

$: Powierzchnia zakreślana w czasie $Δt$ przez linię łączącą planetę ze Słońcem {OPENAGHMATHJAX()}P_{x}\left(a,0,0\right)\), $P_{y}\left(0,b,0\right)$, \(P_{z}\left(0,0,c\right).{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 1: Powierzchnia zakreślana w czasie $Δt$ przez linię łączącą planetę ze Słońcem $ P_{x}\left(a,0,0\right)$, $P_{y}\left(0,b,0\right)$, $P_{z}\left(0,0,c\right). $

Jeżeli weźmiemy bardzo krótki przedział czasu $ dt $ ( $ \Delta t \rightarrow 0 $ ) to zaznaczone pole $ ds $ jest powierzchnią trójkąta o podstawie równej długości zakreślanego łuku $ (vdt) $ i wysokości równej promieniowi $ R $

(4)

$ \mathit{dS}=\frac{1}{2}\mathit{vd}tR $

Z równania ( 4 ) wynika, że chwilowa prędkość polowa (prędkość z jaką promień $ R $ zakreśla powierzchnię) jest równa

(5)

$ \frac{\mathit{dS}}{\mathit{dt}}=\frac{1}{2}\mathit{vR} $

Z zasad dynamiki Newtona wynika zasada zachowania momentu pędu (poznamy ją w następnych rozdziałach), zgodnie z którą moment pędu $ L $ planety w jej obiegu wokół Słońca jest stały

(6)

$ L=\mathit{mvR}=\text{const}\text{.} $

Łącząc równania ( 5 ) i ( 6 ) otrzymujemy ostatecznie

(7)

$ \frac{\mathit{dS}}{\mathit{dt}}=\frac{L}{2m}=\text{const}\text{.} $

Otrzymane równanie ( 7 ) wyraża drugie prawo Keplera.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Prawa Keplera a zasady dynamiki Newtona